Soluções propostas por Sabrina Oliveira - Eng de Computação.
1. Verifique se os pontos $A=(1,1)$, $B=(3,0)$ e $C=(-3,4)$ pertencem à reta de equação $y=x-3$ e esboce o gráfico.
Solução: Para saber se os pontos pertencem à reta basta substituir suas coordenadas na equação da reta $$y=x-3.$$
Para o ponto $A$ temos que se $x=1$ e substituindo na equação então $y=-2$. Portanto A não pertence à reta.
Para o ponto $B$ se $x=3$, e substituindo na equação temos $y=0$.
Para o ponto $C$ como $x=-3$ e substituindo na equação obtemos $y=-6$. Então o ponto $C$ não pertencem a reta.
2. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos $P=(-1,2)$ e $Q=(2,-1)$ e esboce o gráfico.
Solução: O coeficiente angular da reta pode ser calculado usando a fórmula $$m=\frac{(y_P-y_Q)}{(x_P-x_Q)}.$$ Então $$m=\frac{-1-2}{2+1} \Rightarrow m=\frac{-3}{3}=-1.$$
3. Deduza a equação de uma reta que passa pelo ponto $E=(2,1)$ perpendicular ao vetor $w=(-1,3).$
Solução: Se $P=(x,y)$ é um ponto da reta então temos que $$\overrightarrow{EP}\cdot w=0.$$ Temos, então, que $$-1(x-2)+3(y-1)=0.$$ $$\Rightarrow -x+3y=1$$ $$\Rightarrow 3y=x+1$$ $$\Rightarrow y=\frac{x+1}{3}$$
4. Deduza a equação geral da reta que passa pelos pontos $P=(-3,1)$ e $Q=(2,-3).$ Esboce o gráfico.
Solução: A equação da reta pode ser obtida igualando à zero o determinante abaixo. $$\left|\begin{array}{rrr} x&y&1\\ -3&1&1\\ 2&-3&1\\ \end{array}\right|=0$$ $$\Rightarrow 1x+2y+3-2+3x+3y=0$$ $$\Rightarrow 4x+5y+7=0.$$
5. Coloque a equação da reta $y=3x$ na forma geral.
Solução: a equação da reta na forma geral é $$3x-y=0.$$
6. Determine o coeficiente angular da reta cuja equação é $3x-y=-2.$
Solução: Temos que q equação geral é $$3x-y=-2.$$ Então $$-y=-3x-2,$$ multiplicando por (-1) obtemos $$y=3x+2.$$ O coeficiente angular é igual à 3.
7. Deduza a equação geral da reta que passa pelo ponto $R=(2,2)$ e é paralela ao vetor $w=(-4,2).$
Solução: A equação geral da reta é obtida conhecendo um ponto da reta e um vetor perpendicular à reta. Como $w$ é paralelo à reta então qualquer vetor perpendicular à $w$ será também perpendicular à reta. para encontrar este vetor o chamaremos de $v=(x,y).$ Para serem perpendiculares o porduto escalar deve ser igual a zero. Como $$w\cdot v=-4y+2y,$$ então $$-4x+2y=0$$ $$2y=4x$$ $$y=\frac{4x}{2}$$ $$y=2x.$$ Concluímos que o vetor $v$ é do tipo $v=(x,2x).$ Escolhendo $x=2$ temos $$v=(2,4).$$ Para encontrar a equação geral da reta, sabemos que se $P=(x,y)$ é um ponto da reta então temos que $$\overrightarrow{RP}\cdot w=0.$$ Assim, obtemos expressão $$2(x-2)+4(y-2)=0$$ $$2x+4y=12$$ $$x+2y=6.$$