Soluções propostas por Sabrina Oliveira - Eng de Computação.
1. Determine uma parametrização da reta que passa pelos pontos $A=(2,1,2)$ e $B=(4,5,-1).$
Solução: Para determinar a parametrização escolhemos como vetor diretor da reta o vetor $\overrightarrow{AB}=(2,4,-3).$ Escolhendo o ponto $A$ obtemos a parametrização $$R_1(t)=(2+2t,1+4t,2-3t)$$ e escolhendo o ponto $B$ teremos a parametrização $$R_2(t)=(4+2t,5+4t,-1-3t)$$
2. Determine a parametrização de uma trajetória retilínea de uma partícula no plano que no instante $t=2$ sua posição é o ponto $A=(2,3)$ e no instante $t=5$ sua posição é o ponto $B=(20, 4)$ e calcule a sua velocidade.
Solução: A parametrização da reta será do tipo $$x=x_0+at$$ $$y=y_0+bt.$$ Como a reta passa no ponto $A$ em $t=2$ temos que $$2=x_0+2a \quad(1)$$ $$3=y_0+2b. \quad(2)$$Por outro lado, como a reta passa pelo ponto $B$ em $t=5$ temos que $$20=x_0+5a \quad(3)$$ $$4=y_0+5b. \quad(4)$$
Agora é so calcular os valores de $x_0$ e $y_0$ para encontrar o ponto da reta e os valores de $a$ e $b$ para encontrar o vetor diretor. Para fazer isto podemos considerar as equação (1) e (3)
$$2=x_0+2a \quad(1)$$
$$20=x_0+5a \quad(3)$$
e subtrair a equação (1) da equação (3) obtemos $$18=3a \Rightarrow a=6.$$ Substituindo o valor de $a$ obtemos $x_0=-10.$
Considerando as equações (2) e (4)
$$3=y_0+2b. \quad(2)$$
$$4=y_0+5b. \quad(4)$$
e subtraindo (4) de (2) obtemos $$1=3b \Rightarrow b=\dfrac{1}{3}.$$ Substituindo o valor de $b$ temos $y_0=\dfrac{7}{3}.$
Sendo assim, o vetor diretor da reta será $v=(6,1/3)$ e o ponto da reta é $A=(-10,7/3)$ e então a parametrização da reta será $$x=-10+6t$$ $$y=\dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{3}t.$$
3. Tente provar que o módulo do vetor diretor da reta é igual a velocidade de deslocamento.
Considere uma reta $$R(t)=(x_0+at,y_0+bt).$$ O vetor diretor desta reta é $v=(a,b).$ Temos que $$R(t_0)=(x_0+at_0,y_0+bt_0)$$ e $$R(t_1)=(x_0+at_1,y_0+bt_1).$$ Podemos observar que distância percorrida entre os instantes $t_0$ e $t_1$ é $$d(R(0),R(1))=\sqrt{(t_1-t_0)^2(a^2+b^2)}=(t_1-t_0)\sqrt{a^2+b^2}.$$ A velocidade média é dada por $$v=\frac{\Delta S}{\Delta t}.$$ Como $\Delta S=d(R(0),R(1))$ e $\Delta t=t_1-t_0$ temos que $$v=\frac{(t_1-t_0)\sqrt{a^2+b^2}}{t_1-t_2}$$ $$\Rightarrow v=\sqrt{a^2+b^2}=\Vert v \Vert.$$
4. Encontre uma parametrização da reta $y=2x-2$.
Para encontrar o vetor diretor da reta podemos escolher dois pontos $A$ e $B$ na reta e considerar o vetor $\overrightarrow{AB}.$ Para encontra um ponto $A$ escolhemos $x=1$ e encontramos $y=0$, então $A=(1,0).$ Para o ponto $B$ escolhemos $x=2$ e obtemos $y=2$, assim temos $B=(2,2).$ O vetor diretor da reta será $$\overrightarrow{AB}=(1,2).$$ Escolhendo o ponto $A$ obtemos a parametrização $$R_1(t)=(1+t,2t)$$ e escolhendo o ponto $B$ teremos a parametrização $$R_2(t)=(2+t,2+2t).$$
5. Transforme para equação cartesiana a reta $\beta(t)=(-2+3t,2t)$
$P=(-2,0)$ $v=(3,2).$ O que significa a expressão abaixo pra você? $$3(x+2)+2(y-0)=0.$$ O que você tentou fazer foi encontrar a equação geral, mas para encontrar a equação geral você precisa de um vetor perpendicular à reta. A equação acima, você utilizou o vetor $v$ que é paralelo à reta.
6. Encontre uma parametrização para reta $2x-3y-2=0$.
Para parametrizar uma reta sempre precisaremos de um vetor diretor da reta e um ponto em que a reta passa. Como a equação da reta está na forma geral podemos identificar um vetor perpendiculara à reta, que é o vetor $p=(2,-3).$ Sendo assim, podemos considerar o vetor diretor da reta, qualquer vetor que seja perpendicular ao vetr $p$, portanto escolhemos $d=(3,2).$ Para encontra umponto da reta basta escolher um pontoem que suas coordenadas stisfaçam a equação geral dada no enunciado. Então escolhemos o ponto $A=(1,0).$ Logo uma parametrização da reta será $$x=1+3t$$ $$y=2t.$$
Equação paramétrica você precisa de um ponto da reta e um vetor paralelo que o vetor diretor.
Equação geral você precisa de um vetor perpendicular à reta.